怎样从矢量微积分到微分几何？什么是张量的梯度？5月4日12时，《张朝阳的物理课》第二百四十五期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了如何用对偶基矢的语言表述微分几何的原理，重温了上下基矢、张量还有度规的相关定义。接着，他介绍了在对偶基矢的语言下零阶张量（标量）的梯度，它本质上是一个一阶张量，可用于简化对任意小位移下标量场变化量的计算。其后，他还类比这一定义，介绍一阶张量（矢量）的梯度，并将其与协变导数进行了对比。

用对偶基矢表述的微分几何

在力学、电动力学、相对论中，物理规律乃至许多物理量，都不会随坐标系的选择或者变化而改变。比如光速，不会因为洛伦兹变换而发生改变；在一个三维空间中，无论如果旋转，一个矢量的长度也是保持不变。为了抓住不变性，常常需要用矢量微积分这一工具来描述这些量或者规律。

在更一般的情形下，研究广义相对论所关心的、四维弯曲时空中的物理规律需要用到更广义的矢量微积分，也即微分几何。为什么叫“微分”几何呢？张朝阳解释，在微分几何中，人们用微分的视角研究流形上的几何性质，其衍生出的数学工具能够描述物理量随时空坐标变化的性质，无论这个时空本身是平直的还是弯曲的。物理量随时空坐标的变化，对应着对物理量对时空坐标的求导，或者说是求微分。

在微分几何中，张量是重要的对象。在坐标系变换时，张量的分量或许会发生改变，但是张量本身不会发生改变。在一般的教科书中，常常通过定义张量在坐标系变换下相应分量的变换规则，来说明这个张量的不变性。张朝阳在研习过程中发现，相比抽象的数学定义，根据在欧几里得空间中计算矢量微积分的经验，利用对偶基矢来理解微分几何不仅更为直观，表达计算上也更为简洁。本节物理课中，他将带领网友们复习这一方法，然后解答对零阶张量（标量）与一阶张量（矢量）求微分的问题。这类问题在流体力学等地方也经常遇到，在前面多节物理课中已经对这一主题有了初步的接触。

张朝阳首先介绍了张量的记号和定义，类比于矢量微积分，张量可以表示为

这些分别为零、一、二、三阶张量，这个表示并不直接直接与坐标系相关，这也代表这些量不随坐标系变化。 选取坐标系之后，相应将得到上下基矢，记为

它们满足点积关系

一阶张量可以用下基矢表达为

称指标在上面的F^α为逆变分量。同一个一阶张量也可以用上基矢表达为

称指标在下面的F_α为协变分量。类似地，利用上下基矢的不同组合，可以将二阶张量写成不同的形式

张朝阳提醒，写下上式的技巧是，一定要确保整个公式满足爱因斯坦求和规则。由此可以得到二阶张量的不同分量，它们的指标写法不一。在上式中所写的几种情形下，从上至下分别称为二阶张量T的(2,0)型分量（或者叫逆变分量）、(0,2)型分量（或者叫协变分量）、(1,1)型张量。对更高阶的张量也可以做类似的讨论分析。

介绍完张量的记号和定义后，我们需要关注一种特殊的一阶张量——坐标微分张量，定义为：

在力学中它描述了粒子的微小运动，也可以称之为切矢量。利用点乘，可以求坐标微分张量的线长：

更一般地，可以表示为：

这一步定义了度规，它是两个下基矢的点乘

度规的逆也可以类似地用上基矢的点乘来定义，具体为

度规和它的逆有升降指标的能力。首先来考察如何利用度规实现基矢的升降。注意到基矢本身也是矢量，当度规作用于基矢时有

类比式(1)，最后边的等号可以视为是e^β在一组下基矢上的展开，所以应有

即度规将下基矢升为了上基矢。接下来考察度规对分量的升降作用。对于一个逆变分量，有

已经知道度规可以升降基矢，所以应有

即度规将一个逆变分量降为了协变分量。度规是上基矢和下基矢之间的一一对应，因而又可以认为，上基矢和下基矢，描述的都是同一个矢量空间，只是选取了两组不同的、对偶的基矢量来研究这个空间。

（张朝阳介绍如何利用度规升降指标）

零阶张量（标量）的梯度

在对偶基矢的框架下，可以研究各种张量的梯度的定义。梯度是张量的变化量。在三维平直空间的直角坐标系下，最简单的是零阶张量（标量）的总变化量，根据多元函数的泰勒展开，它可以写成在各方向上独立变化量之和

同时，在同样的坐标系下，坐标的微小变化可以被表达为矢量

其中 i、j、k 是直角坐标中三个方向基矢。这样一来，可以将上面的变化量重写为两个矢量点乘的形式：

其中定义了矢量

这里定义的矢量 F 是非常有用的。比如求一个标量场在某些坐标位移方向下引起的变化量微元时，坐标位移的方向可以是多种多样的，但是求对应变化量微元却并不需要分别独立求取。从上面的推导可以看出，只需要知道矢量 F ，并将其与具体的坐标位移点积，就可以得到相应的变化量。张朝阳介绍道，这样定义的矢量正是梯度，它不依赖于具体的变化方向，但会比原来的量要高一阶，比如这里零阶张量（标量）的梯度就是一个一阶张量（矢量）。

上面仅关注了一个特殊情形，对于一般的坐标系，是否也可以这么做呢？一个一般的零阶张量（标量）场是各坐标的函数，利用泰勒展开，可以将该一阶张量的变化量写为

按照直觉可以写出以下等式：

于是这个矢量 F 可以取为

其中给出了这个梯度矢量的协变分量和逆变分量，也即在下基矢和上基矢的展开系数。同时可以看到，标量梯度的逆变分量可以从协变分量通过度规升指标得到

总结，本小节讨论了零阶张量的梯度的定义。一个标量的变化量微元可以写为一个不依赖于坐标微元的矢量与坐标微元的点乘，这个矢量正是梯度，从标量到矢量，张量的阶数升高了一阶。

（张朝阳推导零阶张量的梯度的定义）

一阶张量（矢量）的梯度

对于一个一阶张量（矢量）场，同样可以研究其在一个坐标微元下引起的变化微元。类比零阶张量（标量），是否可以定义一阶张量（矢量）的梯度，从而简化求一阶张量（矢量）变化量的问题？一个一阶张量（矢量）的变化量能不能写为一个二阶张量和坐标微元的点积呢？在本节直播课中，张朝阳也向网友们回答了这两个问题。

按照上一节的思路，希望引入一个二阶张量 T，将一阶张量F的变化量DF表达为

在最后一步中，将 T 用(1,1)分量展开，目的是方便接下来进行缩并。继续计算，可以得到

括号内就是变化量的逆变分量

而同时，在此前直播课中，张朝阳已经讲解过，一阶张量的变化量应当用协变导数来计算。这是因为与标量不一样，张量各分量的定义依赖于基矢量，它们的变化中包括由于基矢变换引起的部分，需要仔细处理。利用协变导数，应有

其中

Γ 是与度规相适配的联络。对比这一结果与式(2)，可以发现

也即：一个一阶张量的逆变分量的协变导数是这个一阶张量的梯度（二阶张量）的(1,1)分量。

总而言之，一个一阶张量（矢量）的梯度是一个二阶张量

利用度规对分量和基矢进行升降，这一结果又可以改写为

也即有：

于是就清楚地知道了协变导数与矢量梯度的关系，事实上它们是一回事。

（张朝阳推导协变导数与矢量梯度的关系）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。